\documentclass[10pt,a4paper]{article} 

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%%文档的题目、作者与日期
\author{2024级数学与应用数学1班}
\title{常微分方程实际案例复习题解答}
\date{2025年11月18日}

\begin{document}

\maketitle

\begin{enumerate}[label=\textbf{问题 \arabic*.}, wide=0pt, leftmargin=*]

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item \textbf{串联电路模型}：考虑一个由电阻 $R$、电感 $L$ 和电源 $E(t)$ 组成的RL串联电路。设电流为 $I(t)$，根据基尔霍夫电压定律建立描述该电路的常微分方程，并写出其标准形式。若 $E(t) = E_0$（常数），求该方程的通解。

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：
\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]
    \item 根据基尔霍夫定律，$$L\frac{dI(t)}{dt}+RI(t)=E(t).$$
    \item 标准形式为 $$\frac{dI(t)}{dt}+\frac{R}{L}I(t)=\frac{E(t)}{L}.$$
    \item 两边乘以积分因子 $\exp(\frac{R}{L}t)$, 可得 
    $$\frac{d}{dt}\left[ \exp\left({\frac{R}{L}t}\right) I(t)\right] = \exp\left({\frac{R}{L}t}\right)\frac{E(t)}{L}, $$
    两边积分，可得 
    $$\exp\left({\frac{R}{L}t}\right) I(t) - I(0) = \int_0^t \exp\left({\frac{R}{L}s}\right)\frac{E(s)}{L}ds. $$
    \item  当 $E(t)=E_0$ 是常数时，可得
    $$I(t) = \frac{E_0}{R} + C\exp\left( -\frac{R}{L}t \right),$$
    其中 $C$ 是任意常数，与 $I(0)$ 有关。

\end{enumerate}

}

\vspace{0.2cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage 
\item \textbf{人口增长模型}：马尔萨斯人口模型假设人口增长率与当前人口数量成正比。设人口数量为 $P(t)$，比例常数为 $k>0$，写出对应的常微分方程并求其通解。进一步，若引入环境承载力 $K$ 得到逻辑斯蒂（Logistic）模型，请写出该非线性微分方程并说明其平衡点及其稳定性。

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：
\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]
    \item 马尔萨斯模型为 $\frac{dP}{dt} = kP(t)$. 
    \item 分离变量法，积分可得通解为 $P(t)=P_0e^{kt}$, 其中 $P_0=P(0)$ 为初始值。
    \item 逻辑斯蒂模型为 $\frac{dP}{dt} = kP(1-P/K)$. 
    \item 当 $\frac{dP}{dt}=0$ 时，可得平衡点 $P=0,P=K$.
    \item 当 $P\approx 0$ 但 $P>0$ 时，$\frac{dP}{dt}>0$, 此时 $P(t)$ 为增函数，远离 $P=0$, 因此 $P=0$ 是不稳定的。
    \item 当 $P\approx K$ 但 $P<K$ 时，$\frac{dP}{dt}>0$, 此时 $P(t)$ 为增函数，趋于 $P=K$; 当 $PP\approx K$ 但 $P>K$ 时，$\frac{dP}{dt}<0$, 此时 $P(t)$ 为减函数，也趋于 $P=K$; 因此 $P=K$ 是渐近稳定的。
\end{enumerate}

}

\vspace{0.2cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage 

\item \textbf{单摆运动模型}：考虑长度为 $l$、质量为 $m$ 的理想单摆，在重力加速度 $g$ 作用下做小角度摆动。设摆角为 $\theta(t)$，忽略空气阻力，推导其运动满足的二阶常微分方程。在小角度近似（$\sin\theta \approx \theta$）下，将方程线性化并求出通解。

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：
\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]
    \item 受力分析，$m\ell \frac{d^2\theta}{dt^2} = -mg\sin\theta $. 得到常微分方程为 $\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{\ell}\sin\theta = 0. $
    \item 当摆动角度很小时，$\sin\theta \approx \theta$, 方程可以线性化为 $\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{\ell}\theta = 0. $
    \item 求解可得 $\theta = A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t)$, 其中 $\omega = \sqrt{g/\ell}$, $A,B$ 是任意常数。 
\end{enumerate}

}

\vspace{0.2cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage 

\item \textbf{探照灯镜面设计}：探照灯要求光源位于焦点处时反射光线平行于主轴。设镜面为旋转曲面，母线为 $y = y(x)$，利用几何光学原理（入射角等于反射角）推导出满足该条件的曲线所满足的一阶常微分方程，并指出该曲线为何种圆锥曲线。

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：
\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]

\item 设点光源位于坐标原点 $ O(0, 0) $, 
反光镜的母线为一条平面曲线 $ y = y(x) $，定义在 $ x \leq c $ 上, 
任取曲线上一点 $ P = (x, y) $, 
光线从 $ O(0,0) $ 射向 $ P(x,y) $，入射方向为 $ \vec{OP} = (x, y) $；
经镜面反射后，要求反射光线水平向左，即方向为 $ (-1, 0) $. 

\begin{figure}[h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=0.7]

        % 绘制 x 轴 y 轴
        \draw[->,>={Stealth[scale=1.2]}] (-2,0) -- (6,0) node[right] {$x$};
        \draw[->,>={Stealth[scale=1.2]}] (0,-2) -- (0,6) node[above] {$y$};

        % 绘制向量
        \draw[->,>={Stealth[scale=1.2]},red] (0,0) -- (1,2);% node[above] {$(x,y)$};
        \draw[->,>={Stealth[scale=1.2]},blue] (1,2) -- (2,4) node[above] {$(x,y)$};

        \draw[->,>={Stealth[scale=1.2]},red] (1,2) -- (-1.235,2);% node[above] {$(x,y)$};
        \draw[->,>={Stealth[scale=1.2]},blue] (1,2) -- (3.235,2) node[right] {$(1,0)\cdot\sqrt{x^2+y^2}$};
        
        \draw[->,>={Stealth[scale=1.2]},blue] (1,2) --++ (3.235,2) node[right] {$k(dy,-dx)$};

        % 绘制切线
        \draw[dashed,purple] (1,2) -- ++ (2,-3.235);
        \draw[dashed,purple] (1,2) -- ++ (-2,3.235);

        % 标记点和标签
        \node at (0,0) [below left] {O};
        \draw[purple] (3,-1.5) node [right] {{镜面切线}};
        \draw[red] (-1.2,2) node [left] {{反射光线}};

    \end{tikzpicture}
    \caption{探照灯的镜面}
    \label{fig-mirror}
\end{figure}

\item 得到母线曲线所满足的一阶常微分方程
$$
\frac{x + \sqrt{x^2 + y^2} }{y} = \frac{dy}{-dx}.
$$

\item  
求解可得 
$
y^2 = 4p(c-x), x\le c.
$

\item 
反光镜应为以点光源为焦点的旋转抛物面，其方程为 
$
y^2 + z^2 = 4p(c-x).
$

\end{enumerate}

}


% {\color{red}解答：
% \begin{enumerate}[label=(\arabic*)]
%     \item 设光源位于原点 $O(0,0)$，曲线上任意一点为 $P(x,y)$，切线斜率为 $y'$. 
%     \item 由光学原理，从光源发出的光线经 $P$ 点反射后平行于 $x$ 轴。
%     \item 由反射定律，入射角等于反射角。设入射光线与法线的夹角为 $\theta_1$，反射光线与法线的夹角为 $\theta_2$，则 $\theta_1 = \theta_2$。
%     \item 设 $OP$ 与 $x$ 轴的夹角为 $\alpha$，切线与 $x$ 轴的夹角为 $\beta$，则 $\tan\alpha = \frac{y}{x}$，$\tan\beta = y'$。
%     \item 从几何关系可知，入射光线 $OP$ 与切线的夹角等于反射光线（平行 $x$ 轴）与切线的夹角。即 $|\alpha - \beta| = |\beta - 0| = |\beta|$。
%     \item 经几何分析，当入射光线与反射光线相对于法线对称时，可得 $\alpha = 2\beta$ 或者 $2\beta - \alpha = \pi$（考虑方向）。所以 $\tan\alpha = \tan(2\beta)$，即 $\frac{y}{x} = \frac{2y'}{1-(y')^2}$。
%     \item 整理得：$y(1-(y')^2) = 2xy'$，即 $y - y(y')^2 = 2xy'$，所以 $y = 2xy' + y(y')^2 = y'(2x + y\cdot y')$。进一步整理可得 $y - 2xy' = y(y')^2$，即 $\frac{y - 2xy'}{y} = (y')^2$，即 $1 - \frac{2xy'}{y} = (y')^2$。
%     \item 通过进一步计算，从 $\frac{y}{x} = \frac{2y'}{1-(y')^2}$ 可得 $y(1-(y')^2) = 2xy'$，即 $y - y(y')^2 = 2xy'$，所以 $y = 2xy' + y(y')^2$。移项得 $y - 2xy' = y(y')^2$，即 $y^2 - 2xyy' = y^2(y')^2$。这可以整理为 $(y')^2 + \frac{2x}{y}y' - 1 = 0$。通过求解这个关于 $y'$ 的二次方程，可得 $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2-y^2}{2xy}$。这就是探照灯镜面母线所满足的一阶常微分方程。
%     \item 该曲线为抛物线。此方程是齐次方程，可通过变量替换 $u = y/x$ 将其化为可分离变量方程。

% \end{enumerate}

% }

\vspace{0.2cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage 

\item \textbf{条形磁铁的磁场模型}：在二维平面上，考虑一条沿 $x$ 轴放置的条形磁铁。（1）建立微分方程模型。（2）考虑简化模型，设其磁场线满足微分方程 $\frac{dy}{dx} = \frac{2xy}{x^2 - y^2}$, 请验证该方程为齐次方程，并通过变量代换将其化为可分离变量形式，写出变换后的方程。

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：
\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]
    \item 将条形磁铁近似为两个点磁荷：北极 $+q_m$ 位于 $(a, 0)$, 南极 $-q_m$ 位于 $(-a, 0)$. 

\begin{figure}[h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=0.9, >=Stealth, thick]

        % 定义点的位置
        \coordinate (O) at (0,0);
        \coordinate (A) at (-3,0);
        \coordinate (B) at (3,0);
        \coordinate (C) at (2,3);
        \coordinate (D) at (-4,0);
        \coordinate (E) at (4,0);
        \coordinate (F) at (0,-1);
        \coordinate (G) at (0,4);

        \coordinate (C1) at (3,3.6);
        \coordinate (C2) at (2.5,1.5);
        \coordinate (C3) at (3.5,2.1);

        % 绘制x轴
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick] (D) -- (E) node[right] {$x$};
        % 绘制y轴
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick] (F) -- (G) node[above] {$y$};

        % 绘制磁源
        \fill[blue] (A) circle (4pt) node[below] {南极：$(-a,0)$};
        \fill[blue] (B) circle (4pt) node[below] {北极：$(a,0)$};

        % 绘制磁铁
        \draw[blue, thick, line width=4pt] (A) -- (B);

        % 绘制观测点
        \fill[blue] (C) circle (2.5pt) node[above left] {$(x,y)$};

        % 绘制线段
        \draw[thick] (A) -- (C);
        \draw[thick] (B) -- (C);

        %磁力分析
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick, purple] (C) -- (C1) node[above] {$H_1$};
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick, purple] (C) -- (C2) node[left] {$H_2$};

        %合力
        \draw[dashed] (C1) -- (C3);
        \draw[dashed] (C2) -- (C3);
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick, purple] (C) -- (C3) node[below right] {$H$};

    \end{tikzpicture}
    \caption{两个反向点磁荷的磁力的叠加}
    \label{fig:megnetic-field}
\end{figure}

    \item 在观测点 $(x,y)$ 的总磁场为 $\vec{H}(x,y) = (U(x,y), V(x,y))$，其中 
    \begin{align*}
    U(x,y) &= \frac{x + a}{[(x + a)^2 + y^2]^{3/2}} - \frac{x - a}{[(x - a)^2 + y^2]^{3/2}}, \\
    V(x,y) &= \frac{y}{[(x + a)^2 + y^2]^{3/2}} - \frac{y}{[(x - a)^2 + y^2]^{3/2}}. 
    \end{align*}

    \item 建立微分方程模型：磁力线是处处与磁场方向相切的曲线，满足 
    $$\frac{dy}{dx} = \frac{V(x,y)}{U(x,y)}. $$
    \item 考虑简化模型：设 $f(x,y) = \frac{2xy}{x^2 - y^2}$. 
    \item 对于任意 $t \neq 0$，有 
    $$f(tx,ty) = \frac{2(tx)(ty)}{(tx)^2 - (ty)^2} = \frac{2t^2xy}{t^2(x^2 - y^2)} = \frac{2xy}{x^2 - y^2} = f(x,y).$$
    
    \item 因此 $f(tx,ty) = f(x,y) = t^0 f(x,y)$，所以该方程是齐次方程。
    \item 变量代换：使用 $u = \frac{y}{x}$，即 $y = ux$，则 $\frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx}$。
    
    \item 代入原方程得：$$u + x\frac{du}{dx} = \frac{2x(ux)}{x^2 - (ux)^2} = \frac{2ux^2}{x^2(1 - u^2)} = \frac{2u}{1 - u^2}.$$
    \item 整理得：$$x\frac{du}{dx} = \frac{2u}{1 - u^2} - u = \frac{2u - u(1 - u^2)}{1 - u^2} = \frac{2u - u + u^3}{1 - u^2} = \frac{u + u^3}{1 - u^2} = \frac{u(1 + u^2)}{1 - u^2}.$$
    \item 变换后得到一个可分离变量的方程：$$\frac{du}{dx} = \frac{u(1 + u^2)}{x(1 - u^2)}.$$
    \item 变换后的方程分离变量得：$$\frac{1 - u^2}{u(1 + u^2)}du = \frac{dx}{x}. $$

\end{enumerate}

}

\vspace{0.2cm}

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\newpage 

\item \textbf{落体运动模型}：一物体从静止开始在空气中自由下落，设其质量为 $m$，重力加速度为 $g$，空气阻力与速度成正比（比例系数为 $k>0$）。设下落速度为 $v(t)$，建立描述该运动的一阶线性常微分方程，并写出其初值问题形式。若阻力与速度平方成正比（即 $F_{\text{阻}} = kv^2$），写出此时的微分方程并判断其类型。

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：
\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]
    \item 受力分析，根据牛顿第二定律 $F=ma$ 可得 $mg-kv=mv'$. 
    \item 一阶线性常微分方程的初值问题为 $$v' + \frac{k}{m}v = g, \,\, v'(0)=0. $$
    \item 若阻力与速度平方成正比，此时的微分方程为 $mg-kv^2=mv'$, 即 $$v' + \frac{k}{m}v^2 = g,$$ 这是一个一阶非线性常微分方程。
    \item 使用分离变量法求解。
\end{enumerate}

}

\vspace{0.2cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage 

\item \textbf{食饵-捕食者模型（Lotka-Volterra 模型）}：设食饵数量为 $x(t)$，捕食者数量为 $y(t)$，模型为：
\[
\begin{cases}
\frac{dx}{dt} = ax - bxy, \\
\frac{dy}{dt} = -cy + dxy,
\end{cases}
\]
其中 $a,b,c,d > 0$。请写出该系统的平衡点，并通过消去时间变量 $t$ 得到轨道方程 $\frac{dy}{dx}$ 的表达式，说明如何将其化为可分离变量方程。


\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：
\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]
    \item 求平衡点：令 $\frac{dx}{dt} = 0$ 且 $\frac{dy}{dt} = 0$，即 $ax - bxy = 0$ 且 $-cy + dxy = 0$. 
    \item 从第一个方程得 $x(a - by) = 0$，所以 $x = 0$ 或 $y = \frac{a}{b}$。从第二个方程得 $y(-c + dx) = 0$，所以 $y = 0$ 或 $x = \frac{c}{d}$。因此平衡点为：$(0,0)$（两个种群都灭绝）和 $(\frac{c}{d}, \frac{a}{b})$（两个种群共存）。
    \item 消去时间变量：由链式法则，$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{-cy + dxy}{ax - bxy} = \frac{y(-c + dx)}{x(a - by)},$$ 这就是轨道方程。
    \item 分离变量得 $$\frac{a - by}{y}dy = \frac{-c + dx}{x}dx\quad \Longrightarrow \quad \left(\frac{a}{y} - b\right)dy = \left(\frac{-c}{x} + d\right)dx. $$
    \item 两边积分得首次积分：$$\int(\frac{a}{y} - b)dy = \int(\frac{-c}{x} + d)dx \quad \Longrightarrow \quad a\ln y - by = -c\ln x + dx + C,$$ 其中 $C$ 是积分常数。
    \item 整理得：
    $$a\ln y + c\ln x - by - dx = C \quad \Longrightarrow \quad \ln(y^a x^c) - by - dx = C.$$ 
    这表示系统存在首次积分，轨道是封闭曲线，体现了种群数量的周期性变化。

\end{enumerate}

}

\vspace{0.2cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\end{enumerate}

\end{document}